Tiede

Kolmen kappaleen ongelma on vaivannut matemaatikkoja yli 300 vuotta – nyt se on ratkaistu käytännössä tietokoneen avulla

Jo Isaac Newton nosti kädet pystyyn 333 vuotta sitten kolmen kappaleen ongelman edessä. Nyt syväoppiva hermoverkko laskee sen ja avaruusalusten lentoradat tuosta vain.

Kolme kappaletta. Vain kolme isoa kappaletta, jotka liikkuvat. Laske, kuinka ne vaikuttavat toistensa liikeratoihin.

Tämähän on kuin ylioppilaskokeen tehtävä!

Siltä tuntuu äkkiseltään. Radat ja kappaleiden massat vain kaavaan. Ei onnistu. Kaavaa ei ole.

Kolmen kappaleen ongelma on vaivannut matemaatikkoja yli 333 vuotta.

Ongelman esitti jo vuonna 1687 itse Isaac Newton (1642–1727). Hän sentään keksi itse painovoimalait, jotka vaikuttavat kaikkialla, ja koko liike­opin. Kahden kappaleen kanssa Newton pärjäsi.

Kolmen kappaleen edessä hän nosti kädet pystyyn. Newton ei kyennyt laskemaan tarkasti, miten Kuun painovoima vaikutti Maan ja Auringon liikkeisiin.

Ongelma kiusasi sittemmin Leon­hard Euleria (1705–1783). Tämä kautta aikain ehkä arvostetuin matemaatikko kehitti kolmen kappaleen ongelmalle rajattuja ratkaisuja.

 

Kolmen kappaleen järjestelmä muuttuu melko pian kaoottiseksi.

Ajatuksiaan toi peliin myös suomalainen matemaatikko Karl Sundman (1873–1949). Hän yritti esittää ongelmaan ”täydellisen ratkaisun”.

Tälle vuosituhannelle tultaessa oli selvää, ettei ratkaisua ole. Tietokoneetkin jäivät joskus raksuttamaan ikuisesti kappaleiden liikeratoja.

Syy on se, että kolmen kappaleen järjestelmä muuttuu melko pian kaoottiseksi. Jos kappaleet liikkuvat kaukana painovoiman keskipisteestä, koko järjestelmä hajoaa helposti.

Melkoisen yllätyksen tarjosi siksi joulukuussa 2019 matemaatikko Philip Breen Edinburghin yliopistosta. Hänen mukaansa kolmen kappaleen ongelma on ratkaistu.

Breenin ryhmä ratkaisi kappaleiden liikkeet uuden koneoppivan tietokoneohjelman avulla. Se toimii kuin neuroverkko. Tekoäly laskee kappaleiden ratoja jopa sata miljoonaa kertaa nopeammin kuin aiemmin. Käytännössä ratkaisu löytyy heti, muttei mielivaltaisille kappaleille. Alkuehdot ovat rajatut.

Miten Breen teki sen?

 

Kolmen kappaleen ongelma vaivasi 1700-luvun merenkulkua.

Newtonin aikaan avaruuteen ei ollut lähetetty mitään. Luotainten ja astronauttien kapseleiden ratoja ei siis tarvinnut laskea.

Kolmen kappaleen ongelma vaivasi 1700-luvun merenkulkua. Rahtilaivojen kapteenit eivät aina tienneet tarkasti, mitä pituuspiiriä laiva purjehti.

Ilman tätä tietoa oli hankala päästä perille. Haaksirikot väijyivät edessä. Laivat olivat joskus käytännössä eksyksissä.

Yksi keino laskea sijainti oli katsoa Kuun paikka taivaalla ja verrata sitä tähtien paikkoihin.

Apuna tässä oli taulukko, jolla laivalta nähtyä tähtitaivasta verrattiin näkymään muualla. Taulukon tähtien ja Kuun paikat oli yleensä laskettu Greenwichin observatoriossa nollapituus­piirillä, joka kulki läpi Lontoon.

Auringon painovoima kuitenkin heilutti Kuun paikkaa. Edessä oli siis klassinen kolmen kappaleen eli Auringon, Kuun ja Maan aiheuttama ongelma, jossa painovoima sotki paikannuksen. Ei osattu riittävän tarkasti ennustaa, missä Kuun tulisi olla.

Kun mittausten virheet kasaantuivat, laiva harhautui jopa tuhansia kilometrejä.

Ongelma ratkesi, kun laivoihin saatiin tarkka kello, kronometri. Ensimmäisen rakensi kelloseppä John Harrison. Sen avulla pituuspiirin paikka selvisi jo kokeilussa 1736. Kellon syntyvaiheista kertoo suosittu tietokirja Longitudi (1996).

Nyt satelliittien paikannuksen aikana merillä ei kohtaa kolmen kappaleen ongelmaa. Niin laivat, lentokoneet, autot kuin ihminen suunnistavat metrintarkasti satelliittien avulla.

Silti kolmen kappaleen ongelma vaivaa yhä. Avaruusalusten, kuten luotainten, rata on osin laskettava kokeillen. Laskenta sujuu toki tietokoneilla nopeasti.

Kehkeytyykö avaruusmatkasta kaaos? Käytännössä näin ei käy. Ratalaskut aurinkokunnassa ovat hyvin tarkkoja.

Vielä Apollo-kuulentojen aikaan 1960-luvulla lentojen radat ja ratakorjaukset piti laskea myös ihmisvoimin ja käsin, siis paperilla ja laskutikuilla. Näitä laskevia henkilöitä kutsuttiin joskus nimellä computer, sanan­mukaisesti laskija. Nyt sama sana viittaa tietokoneeseen.

Kompuuttereita oli paljon Nasan eli Yhdysvaltain avaruushallinnon palkkalistoilla. Monet heistä olivat naisia. Heidän kohtelustaan miesten yhteisössä on tehty Hollywood-elokuvakin, Hidden Figures (2016).

Kun yksi kolmen kappaleen ongelma ratkotaan, tulee uusia eteen. Ongelma on yhä osa tähtitiedettä.

Pallomaisten tähtijoukkojen ja galaksien ytimissä on hyvin massiivisia kappaleita. Ne luovat vahvoja gravitaatiokenttiä.

”Pallomaisten tähtijoukkojen ja galaksien ytimistä löytyy mustia aukkoja, neutronitähtiä ja massiivisia tähtiä”, sanoo astrofysiikan professori Peter Johansson Helsingin yliopistosta.

Massasegregaatioksi sanotussa ilmiössä massiiviset kappaleet vajoavat kohteiden keskustoihin ja kevyemmät kappaleet nousevat pinnalle vuosimiljoonien saatossa, Johansson kuvailee.

Hänen ryhmänsä on kehitellyt laskentamenetelmiä, joilla voidaan samanaikaisesti mallintaa miljoonien tähtien ratoja.

”Näissä hybridimenetelmissä tähtien radat esimerkiksi supermassiivisen mustan aukon lähellä lasketaan erittäin tarkasti, kaukaisempien tähtien radat hieman epätarkemmin.”

Tarkastelussa saattaa olla miljoonia tähtiä, jotka vaikuttavat toisiinsa. Kyse ei ole enää vain kolmen kappaleen ongelmasta.

Kun kaksi mustaa aukkoa sulautuu yhdeksi, siihen vaikuttaa myös muita kappaleita.

Tehokkaat tietokoneet voivat laskea ennalta mustien aukkojen sulaumia. Mutta se vaatii parhailtakin tietokoneilta paljon laskenta-aikaa. Jotkin ratkaisut jäävät jumiin. Kone ei saa ulos lopputulosta säällisessä ajassa.

”Järjestelmään syntyy muutamia hyvin tiukkoja kaksois- tai kolmoisjärjestelmiä. Näissä esimerkiksi kaksi mustaa aukkoa kiertää hyvin lähekkäin toisiaan. Tämän tarkka mallinnus vaatii aika-askeleen lyhentämistä. Se johtaa siihen, että koko simulaatio hidastuu”, Johansson kuvailee ongelmaa.

 

Oppiva ohjelma tarjoaa ratkaisuja jopa sata miljoonaa kertaa nopeammin kuin parhaat edeltäjät.

ongelman ratkaisijaksi ilmoittanut Breen rakensi koneoppivan hermoverkon, joka laskee ratkaisuja näihin ikäviinkin ongelmiin.

Koneoppiva hermoverkko on oppivan tekoälyn perustoja. Se käsittelee muistissaan sille syötettyjä tietoja verkostona ja eri kerroksissa. Kun yhden kerroksen ongelma on ratkaistu, se siirtyy toiselle. Kerroksia saattaa olla paljon, mikäli kone ratkoo mutkikasta ongelmaa.

Breenin oppiva ohjelma tarjoaa ratkaisuja ongelmiin jopa sata miljoonaa kertaa no­peammin kuin parhaat edeltäjät. Näin Breen väittää tutkimuksessa, jonka hän esittelee Arxiv-verkkopalvelussa.

”Tuota julkaisua on markkinoitu ehkä vähän liiankin villisti. Kolmen kappaleen ongelmaa ei ole suinkaan täysin ratkaistu, vaan se on ratkaistu tietyissä erityistapauksissa”, Johansson kommentoi.

Breen ryhmineen pääsi saavutukseensa näin: Ohjelmaa koulutettiin ensiksi tietokannan avulla. Siinä oli valmiina eri kolmen kappaleen ongelmia, joihin on jo laskettu ratkaisu. Niitä on kertynyt vuosikymmenien ja -satojen aikana satoja.

Breen yksinkertaisti nämä ongelmat. Hän asetti kolme kappaletta samaan kuvitteelliseen tasoon.

Jokaisella kappaleella oli tässä asetelmassa sama massa, eikä lainkaan kiihtyvyyttä. Näin ongelma yksinkertaistui.

Ryhmä valitsi liikkeiden lähtökohdat sattumanvaraisesti. Liikkeitä laski sitten tietokoneohjelma, jonka nimi on Brutus. Se laski kappaleiden liikkeet yhä uudestaan, jopa 10 000 kertaa.

Näitä laskelmia Breen ryhmä käytti oppivan neuroverkkonsa kouluttamiseen. Lopuksi ryhmä testasi neuroverkkoa 5 000:lla täysin uudella kolmen kappaleen ongelmalla. Niitä verrattiin Brutuksen laskemiin ongelmiin.

Neuroverkko ennusti tarkasti kolmen kappaleen liikkeitä eteenpäin. Se jäljitteli ratojen hajoamisen oikein.

”Syväoppivat hermoverkot tuottavat nopeita ja tarkkoja ratkaisuja haastaviin kolmen kappaleen ongelmiin”, kuittaa Breen Technology Review -lehdessä. Ne lyhensivät ratkaisevasti laskentaan kuluvaa aikaa.

”Neuroverkko ennustaa kyllä liikkeitä eteenpäin, mutta kuinka pitkäksi aikaa?” kysyy tähän Johansson.

Breen sanoo, että Brutuksen kaltainen ohjelma tekee perustyön. Kun laskemisesta tulee koneelle taakka, tulee nopea hermoverkko mukaan. Ohjelman ansiosta isojen tähtijoukkojen ja mustien aukkojen liikkeiden seuranta helpottuu.

”Hermoverkko voidaan kouluttaa ratkomaan vielä kaoottisempia ongelmia, neljän tai viiden kappaleen liikkeitä”, Breen uskoo. Ne auttavat siis Johanssonin mainitsemiin ongelmiin.


Kolmen kappaleen laskelmia käytetään myös lähiavaruudessa Lagrangen pisteiden laskemiseen. Niihin lähetty kohde pysyy avaruudessa lähes paikallaan.

Pisteeseen L2 viedään maaliskuussa 2021 suurin, kallein ja kaunein avaruusteleskooppi, nimeltään James Webb. Sen rata on tietenkin jo laskettu. Se odottaa jo lähtölaskentaa.

Ota kaikki irti Hesarista
HS Digillä saat kaikki Hesarin digisisällöt käyttöösi

Kommentit

Kommentit

    Ei vielä kommentteja. Kirjoita ensimmäinen.

    Ei vielä nimellä kirjoitettuja kommentteja. Kirjoita ensimmäinen.

    Näytä lisää
    Luetuimmat
    • Juuri nyt
    • Päivä
    • Viikko
    1. 1

      Postin sekasorto on Helsingissä niin ankara, että taloyhtiöissä jaetaan jo kirjeitä harrastuspohjalta

      Tilaajille
    2. 2

      Kobe Bryant oli risti­riitainen super­tähti, joka saavutti kaiken – roolinsa hän erotti itse itselleen antamallaan lempinimellä

    3. 3

      HS:n palkkakone paljastaa, tienaatko yhtä paljon kuin työkaverisi keskimäärin – Palkoista pitäisi puhua paljon enemmän, sanoo professori

      Tilaajille
    4. 4

      Suomalaisyrityksen teknologia tappaa koronaviruksia ilmasta – nyt kiiretilaus Kiinaan laittoi työvuorot uusiksi

    5. 5

      Jos metsäteollisuuden lakon yhteydessä esitetyt luvut pitäisivät paikkansa, menetysten saaminen takaisin veisi sata vuotta – mitä järkeä lakossa on?

    6. 6

      Moni suomalaislapsi on kasvatettu tavalla, joka murentaa itseluottamusta – Asiantuntijat kertovat, miksi tyyliä kannattaa muuttaa heti

      Tilaajille
    7. 7

      Tutkijat yllättyivät: Koe-eläinten joukossa oli aivoton rotta, joka eli kuitenkin normaalisti

    8. 8

      Tubettaja Mandimai menetti ”aika kivoja summia”, kunnes kollegat tulivat väliin – Nyt hän kääntää suursuosiotaan euroiksi

      Tilaajille
    9. 9

      Koronavirus ei vaikuta yhtä tappavalta kuin sars, mutta arviot tartuttavuudesta vaihtelevat – Tämä viruksesta tiedetään nyt

    10. 10

      Koronavirukseen on kuollut jo 106, tartuntoja yli 4 500 – Saksassa todettiin ensimmäinen tartunta

    11. Näytä lisää
    1. 1

      Moni suomalaislapsi on kasvatettu tavalla, joka murentaa itseluottamusta – Asiantuntijat kertovat, miksi tyyliä kannattaa muuttaa heti

      Tilaajille
    2. 2

      Fasismia tuli joka tuutista, joten Ilkka Malmberg vei poikansa katsomaan, mihin oikea fasismi johtaa – Kuukausiliitteen klassikko­juttu vie Auschwitziin

      Tilaajille
    3. 3

      Uusi pysäköintihalli Töölössä seisoo lähes tyhjillään, emmekä me töölöläiset ihmettele sitä yhtään

    4. 4

      Kobe Bryant oli risti­riitainen super­tähti, joka saavutti kaiken – roolinsa hän erotti itse itselleen antamallaan lempinimellä

    5. 5

      Sata vuotta sitten New Yorkin yläluokkaa palveli oireeton kokki Mary Mallon, joka oli historian kenties pahin suurtartuttaja: isäntäperheet sairastuivat vuorotellen vaaralliseen tautiin

    6. 6

      ”Läksyt stressaavat”, nuori kertoi, mutta sitten paljastui todellisuus, joka veti ammattilaisenkin vakavaksi – HS vietti illan suositulla chat-kanavalla, jossa näkyy nuorten ahdistus ja hätä

      Tilaajille
    7. 7

      Rajun näköisestä lihasvasarasta tuli treenaajien hittituote – Asiantuntija kertoo, mitä laite tekee lihaksille

    8. 8

      Suomalaisyrityksen teknologia tappaa koronaviruksia ilmasta – nyt kiiretilaus Kiinaan laittoi työvuorot uusiksi

    9. 9

      Kirjeenvaihtajan kommentti: John Boltonin paljastus on uutis­pommi, joka voi muuttaa Trumpin oikeuden­käynnin kulkua

      Tilaajille
    10. 10

      Helsingin poliisin ylikomisario teki rikosilmoituksen perussuomalaisten kansanedustajasta

    11. Näytä lisää
    1. 1

      Salamurha, jäätelöä ja Rick, jolla on ydinase – Tällainen on Donald Trumpin hämmentävä palatsi, jossa presidentti kestitsee valtiovieraita ja laukaisee ohjuksia

      Tilaajille
    2. 2

      Nelivuotias Michael Bornstein selvisi Auschwitzista opettelemalla olemaan näkymätön – Maanantaina hän palaa sinne peloistaan huolimatta

      Tilaajille
    3. 3

      Italialainen yöelämäntutkija käy ydinkeskustassa, Triplassa, Sörnäisissä ja Kontulassa, ja löytää yhden aidon ja monikulttuurisen paikan

      Tilaajille
    4. 4

      Kampissa kaupataan niin pientä asuntoa, ettei sellaisia saa Helsinkiin enää edes rakentaa

    5. 5

      Katri Kulmunin ihastuttava brittienglanti loksautti leuat somessa – kysyimme kielentutkijoilta, olisiko hän ylä- vai alaluokkainen britti

    6. 6

      Hyllytetty luisteluvalmentaja Mirjami Penttinen pyysi vanhempia allekirjoittamaan tukiadressin itselleen – HS:n haastattelussa hän kiistää lähes kaiken

    7. 7

      Ratkeaako ihmiskunnan kohtalo suomalaisilla keksinnöillä? Suomessa kehitetään nyt laitteita, joissa voi olla avain ilmaston kohtalon­kysymykseen

      Tilaajille
    8. 8

      Deittisovellukset tietävät käyttäjistään kaiken, ja näitä tietoja janoavat vaaralliset ihmiset – HS:n selvitys paljastaa, että massiiviseen tiedonkeruuseen liittyy suuria uhkia

      Tilaajille
    9. 9

      Rap-artisti Pyhimys ratkaisi matematiikan tehtävän tavalla, joka sai opettajan hämmästymään – Siitä alkoi polku, joka olisi voinut johtaa aivan toisenlaiseen elämään

      Tilaajille
    10. 10

      Kun isä kuoli, Eero Huovinen sai käsiinsä valtavan kasan kirjeitä, joista paljastui totuus äidistä – Huovinen itki, kun hän avasi niistä ensimmäiset

      Tilaajille
    11. Näytä lisää